\chapter{质点运动学 Particle Kinematics}
\section{参照系和坐标系 Reference Frames and Coordinate Systems}
参照系，又称参考系(Reference Frames)，参考体，参照物，指研究物体运动时所选定的参照物体或彼此不作相对运动的物体系。  

如果物体相对于参照系的位置在变化，则表明物体相对于该参照系在运动；如果物体相对于参照系的位置不变，则表明物体相对于该参照系是静止的。同一物体相对于不同的参照系，运动状态可以不同。这称为运动描述的相对性，也简称为运动的相对性。运动的相对性这一说法本身，反映了参照系之间存在相对运动，反映了宇宙间所有物质处于永恒运动之中。运动是物质存在的形式，物质运动存在于人类意识之外，这便是所谓运动本身的绝对性。在认识运动的相对性同时，还必须认识运动本身的绝对性。
\subsection{坐标系 Coordinate Systems}
为了定量地描述物体的运动，我们在参考系上还要建立坐标系。一般在参考系选择一点作为坐标系的原点，取通过原点并附标度的线作为坐标轴，再加上与参考系固连的时钟。常用的一种坐标系包括一个原点和三条互相垂直的坐标轴(X、Y、Z轴)。这种坐标系称为直角坐标系或正交坐标系，也称为笛卡尔坐标系。根据需要，也可以选择平面极坐标系(简称极坐标系)、圆柱面坐标系(也称柱面坐标系或柱坐标系)和球面坐标系(或称球坐标系)等。

\subsection{质点 Particle}
质点是有质量但不存在体积或形状的点，是物理学的一个理想化模型。在物体的大小和形状不起作用，或者所起的作用并不显著而可以忽略不计时，我们近似地把该物体看作是一个只具有质量而其体积、形状可以忽略不计的理想物体，称为质点(mass point，particle)。

当研究地球绕太阳运动时，可以将地球看做质点，此时地球的大小形状对所考虑的问题无明显影响；而在研究地球自转时，如果仍然把地球看做质点，显然就没有实际意义了。

要把物体看作质点，要看所研究问题的性质，而与物体本身无关。所以，将物体看作质点需要满足下列两个条件之一：

当物体的大小与所研究的问题中其他距离相比为极小时。

一个物体各个部分的运动情况相同，它的任何一点的运动都可以代表整个物体的运动。

由于质点无大小可言，作用在质点上的许多外力可以合成为一个力，另一方面，研究质点的运动，可以不考虑它的自旋运动。

任何物体可分割为许多质点，物体的各种复杂运动可看成许多质点运动的组合。因此，研究一个质点的运动是掌握各种物体运动的基础。牛顿第二定律可以描述一个质点的运动规律，牛顿第三定律可以研究两个质点的相互作用，利用它们可以研究有限大小的物体。所以质点是研究物体运动的最简单、最基本的对象。
\subsection{时间和时刻 Time and Instant}
任何物质运动都是在时间(Time)和空间(Space)中进行的。运动不能脱离空间，也不能脱离时间。时间具有单方向性特点。“光阴一去不复返”，说明了时间的单方向性。

在运动学中，除了时间，还经常用到时刻(Instant)概念。在一定的参照系中考察质点的运动时，与质点所在某个位置对应的为某个时刻，与质点所经过的某一段距离相对应的是一段时间。例如，火车从北京开出瞬间，是某个时刻。火车从北京开到上海，需经历一段时间。

时间是一个较为抽象的概念，是物质的运动、变化的持续性、顺序性的表现。时间概念包含时刻和时段两个概念。时间是人类用以描述物质运动过程或事件发生过程的一个参数，确定时间，是靠不受外界影响的物质周期变化的规律。例如月球绕地球周期，地球绕太阳周期，地球自转周期，原子震荡周期等。

爱因斯坦说时间和空间是人们认知的一种错觉。

爱因斯坦在相对论中提出：不能把时间、空间、物质三者分开解释。时间与空间一起组成四维时空，构成宇宙的基本结构。时间与空间在测量上都不是绝对的，观察者在不同的相对速度或不同时空结构的测量点，所测量到时间的流逝是不同的。广义相对论预测质量产生的重力场将造成扭曲的时空结构，并且在大质量（例如：黑洞）附近的时钟之时间流逝比在距离大质量较远的地方的时钟之时间流逝要慢。现有的仪器已经证实了这些相对论关于时间所做精确的预测，并且其成果已经应用于全球定位系统。另外，狭义相对论中有“时间膨胀”效应：在观察者看来，一个具有相对运动的时钟之时间流逝比自己参考系的（静止的）时钟之时间流逝慢。

时间是地球（其他天体理论上也可以）上的所有其他物体（物质）三维运动（位移）对人的感官影响形成的一种量。

就今天的物理理论来说时间是连续的、不间断的，也没有量子特性。一些至今还没有被证实的，试图将相对论与量子力学结合起来的理论，如量子重力理论、弦理论、M理论等，预言时间是间断的，有量子特性的。一些理论猜测普朗克时间可能是时间的最小单位。

根据斯蒂芬·威廉·霍金（Stephen William Hawking）所解出广义相对论中的爱因斯坦方程式，显示宇宙的时间是有一个起始点，由大爆炸开始的，奇点没有“之前”一说，讨论在此之前的时间是毫无意义的。而物质与时空并存，只要物质存在，时间便有意义。

爱因斯坦认为：“现在、过去和将来之间的差别只是一种错觉。”时间倒流或回到过去，其实是建立在一个不存在的逻辑基础上的。（注明：在基本的物理学定理中没有时间概念，时间不参与计算，这并不表明其不存在，物种衰老、昼夜更替都证明其真实存在，切莫误解其意；相对论中，粒子的很多运动，裂变、聚变，互相之间都是这种关系，互为倒放的关系。）
\section{位置矢量和位移}
\subsection{位置矢量 Position Vector}
位置矢量简称位矢，是在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段。
\subsection{位移 Displacement}
位移是在一段时间间隔内，从质点的起始位置引向质点的终止位置的有向线段。

位移和位矢虽然都是矢量，但二者是两个不同的概念。
\section{速度 velocity}
速度 (velocity) 定义：速度是动点矢径对时间的导数，其方向同轨迹的切线方向一致。
在最简单的匀速直线运动中，速度的大小等于单位时间内经过的路程。速度的常用单位有：厘米/秒，米/秒，千米/小时等。速度的大小也称速率(speed)。动点Q作一般空间运动时，位移$\Delta r$和所用时间$\Delta t$的比，称为$\Delta t$时间内的平均速度，记为v平，平均速度的方向即位移的方向。当时间间隔$\Delta t$趋于零时，平均速度的极限称为动点在t时的瞬时速度，简称速度，记为v：
\begin{equation}
\label{velocity}
\vec v=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}
\end{equation}
\section{加速度 acceleration}
加速度 (acceleration) 的严格定义为：加速度矢量等于速度矢量对时间的导数，其方向沿着速端图的切线方向并指向轨迹的凹侧。关于加速度产生的原因，可参见牛顿运动定律。

加速度常用单位是米/秒²等。在最简单的匀加速直线运动中，加速度的大小等于单位时间内速度的增量。若动点的速度v1经t秒后变成v2，则其加速度可表示为：
动点Q做一般空间运动时，速度矢量的变化和所经时间$\Delta t$的比，称为$\Delta t$时间内的平均加速度，记为a平。当时间间隔$\Delta t$趋于零时，平均加速度的极限称为瞬时加速度，简称加速度，记为a：
\begin{equation}
\label{acceleration}
\vec a=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}
\end{equation}

即
\begin{equation}
\label{acceleration2}
\vec a=\frac{d\vec v}{dt}
\end{equation}
\section{直线运动}
\subsection{匀速直线运动 Uniform Linear Motion}
\subsection{匀加速直线运动 Uniformly Accelerated Linear Motion}
\section{运动迭加原理和抛体运动 Principle of Superposition of Motion and Projectile Motion}

\section{圆周运动 Circular Motion}
\subsection{匀速圆周运动和向心加速度 Uniform Circular Motion and Centripetal Acceleration}

质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动就叫做“匀速圆周运动”(uniform circular motion)，亦称“匀速率圆周运动”。因为物体作圆周运动时速率不变，但速度方向随时发生变化，所以匀速圆周运动的线速度是每时每刻都在发生变化的。

匀速圆周运动是圆周运动中最简单的运动。

计算公式

1、(线速度)$v=\Delta S/\Delta t=2\pi r/T=\omega r=2\pi rn$(S代表弧长，t代表时间，T代表周期，r代表半径,n代表转速)

2、(角速度)$\omega=\Delta\theta/\Delta t=2\pi/T=2\pi n (\theta$表示角度或者弧度)

3、(周期)$T=2\pi r/v=2\pi/\omega=1/n$

4、(转速)$n=1/T=v/2\pi r=\omega/2\pi$

5、(向心力)$F_n=mr\omega^2=mv^2/r=mr\cdot4\pi^2/T^2=mr\cdot4\pi^2n^2$

6、(向心加速度)$a_n=r\omega^2=v^2/r=r\cdot4\pi^2/T^2=r\cdot4\pi^2n^2$
\subsection{变速圆周运动 Non-uniform Circular Motion}
变速圆周运动(英语：Non-uniform circular motion)是圆周运动的一种，指的是物体移动的角速度随着时间变化的圆周运动。

如果一个物体正在做变速圆周运动，则说明有外力正在改变圆周运动的性质，这个力可以是重力、正向力或摩擦力。生活中大部分的圆周(离心)运动，都存在切向的加速度，即为变速圆周运动。

在变速圆周运动的过程中，正向力和重力不在同一条直线上。过山车旋转一周的过程就是变速圆周运动，在底部速度最快，顶端速度最慢。重力是这个过程中阻碍过山车做匀速圆周运动的主要因素。

在变速圆周运动的过程中，物体所受合力指向圆心的分量$F_n$产生向心加速度$a_n$，使物体保持圆周移动。其相切分量$F_t$则改变线速度的大小，因而产生一个圆周的切线加速度分量$a_t$，其大小为：$a_t=\frac{d\vec v}{dt}$,而向心加速度是由速度方向的变化所产生的，其大小和物体做匀速圆周运动时一样，为：$a_n=\frac{v^2}{R}$，此时物体总加速度的矢量等于这两个分量之和：

$\vec a=\vec a_n+\vec a_t$

\subsection{曲线运动 Curvilinear Motion}
质点在平面内做一般的曲线运动时，质点在曲线上A、B两点的瞬时速度分别为$\vec v_A,\vec v_B$，速度增量也可以分解为法向分量$\Delta v_n$、切向分量$\Delta v_t$。与变速圆周运动相似，质点在任意点的法向、切向加速度分别为
\begin{equation}
\label{Curvilinear_motion}
\begin{cases}
a_n=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec v_n}{\Delta t},&a_n=\frac{v^2}{\rho}\\
a_t=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec v_t}{\Delta t},&a_t=\frac{dv}{dt}
\end{cases}
\end{equation}

要特别指出，与圆周运动中恒定半径R不同，上式中的$\rho$是曲线在该点的曲率半径。一般说来，曲线上各点的曲率中心和曲率半径是逐点不同的，但加速度法向分量$a_n$始终指向曲率中心。
\subsection{圆周运动的角量描述}
\subsection{线量和角量之间的关系}
\section{有心力场和二体运动 Central Force Fields and Two-body Motion}
\subsection{有心力 Central Force}
如果作用于一运动质点的力的作用线总是通过空间某一固定点，这样的力叫做有心力或中心力或辏力。力所指向或背向的固定点叫做力心。指向力心的有心力叫做引力。背向力心的有心力叫做斥力。在有心力作用下质点的运动叫做有心运动。
\subsubsection{在有心力作用下，质点的基本特性}
质点的角动量守恒（对于力心的力矩为零）

有心运动是平面运动（角动量为恒矢量）

有心运动质点的机械能守恒（有心力是保守力）
\section{相对位移与相对速度}
\subsection{相对位移}
\subsection{相对速度}
参照物的不同，速度是不一样的。例如，以地面为参照物所测量的速度，称为绝对速度；以非地面参照系为参照物(例如空气)所测量的速度，称为相对速度。如甲、乙两列车以相同的速度同向行驶，则甲车相对于乙车的速度和乙车相对于甲车的速度都等于零；若反向行驶，则相对速度都等于二倍车速。

在同一惯性参考系中，假设有某一粒子速度为u1，另一粒子速度为u2。则相对速度为u2-u1。相对速度不随惯性参考系的选取而改变，即在伽利略变换中，相对速度是一个不变的矢量，所以相对速度也有方向，方向为绝对值大的方向。
\section{点的合成运动}
点的合成运动亦称点的复合运动。质点简单运动的复合，即动点相对固定坐标系的运动、相对运动坐标系的运动以及运动坐标系本身的运动三者存在关系，通过相对运动和运动坐标系的运动来求质点相对固定坐标系的运动称为运动的合成。
\subsection{绝对运动.相对运动和牵连运动}
习惯上称固定在地球表面的坐标系为定参考系，简称定系，以Oxyz坐标系表示；称固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系为动参考系，简称动系，以O'x'y'z'坐标系表示。

使用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选择两个参考系，区分三种运动：

1,称动点相对定系的运动为绝对运动,相对定系的轨迹、速度、加速度为绝对轨迹、绝对速度va、绝对加速度aa。

2,动点相对动系的运动为相对运动,相对动系的轨迹、速度、加速度为相对轨迹、相对速度vr、相对加速度ar。

3,动系相对定系的运动为牵连运动,动系上动点瞬时重合点相对定系的速度、加速度为牵连速度ve、牵连加速度ae。

必须特别注意，由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动，所以除非参考系做平动，否则其上各点的运动都不完全相同。动参考系与动点直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点称为牵连点，牵连运动就是考察牵连点的运动。

关系式如图，分别表示速度合成定理和加速度合成定理.式中$a_c=2\omega\times v_r$是科里奥利加速度,$a_r$是动系相对定系转动的角速度,这就可把复杂的运动看成是简单运动的复合，能有效地分析复杂机构的运动。

应该指出，动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，它可能做直线运动或曲线运动；而牵连运动则是参考体的运动，实际是刚体的运动，它可能做平动、转动或其它较复杂的运动。
\subsection{点的速度合成定理}
\begin{figure}
	\includegraphics[scale=.3]{compoundmotion}
	\caption{点的合成运动示意图\label{compoundmotion}}
\end{figure}
如图 \ref{compoundmotion}:动点M沿物体上曲线AB运动,物体也在运动。由图可得三个位移矢量的关系:
\begin{equation}
\label{compoundmotion2}
\vec r_a =   \vec r_r  +   \vec r_e
\end{equation}

上式对时间求导，得
\begin{equation}
\label{compoundmotion3}
\frac{d\vec r_a}{dt} =  \frac{d\vec r_r}{dt}    +   \frac {d\vec r_e}{dt}  
\end{equation}

即
\begin{equation}
\label{compoundmotion4}
\vec v_a =   \vec v_r  +   \vec v_e
\end{equation}

这就是点的速度合成定理。

点的速度合成定理所得出的简单结论，对于任何形式的牵连运动都是通用的。
\subsection{点的加速度合成定理}
我们直接给出结论
\begin{equation}
\label{compoundmotion30}
\vec a_a =   \vec a_e  +   \vec a_r +2\vec\omega_e\times\vec v_r
\end{equation}

令
\begin{equation}
\label{compoundmotion31}
\vec a_c =  2\vec\omega_e\times\vec v_r
\end{equation}

称$\vec a_c$为科里奥利加速度或科氏加速度，其等于动系角速度矢量与点的相对速度矢量的叉积的两倍。

法国物理学家贾斯帕·古斯塔夫·科里奥利(Coriolis, Gustave Gaspard de，1792.05.21～1843.09.19)第一个发现这种加速度或力。1835年他在《物体系统相对运动方程》的论文中指出，如果物体在匀速转动的参考系中作相对运动，就有—种不同于通常离心力的惯性力作用于物体；他称这种力为复合离心力，其大小和方向可用$ 2\vec\omega_e\times m\vec v_r$表示，其中m为物体质量，$ \vec v_r$为相对速度，$\vec\omega_e$为参考系的角速度。有关的证明是他在1843年出版的专著《固体力学和机器效应计算教程》中给出的。现在称这种力为科里奥利力或科氏力(见相对运动)，称相应的加速度$ 2\vec\omega_e\times\vec v_r$为科里奥利加速度或科氏加速度。

式\ref{compoundmotion31}代入式\ref{compoundmotion30}，得：
\begin{equation}
\label{compoundmotion32}
\vec a_a =   \vec a_e  +   \vec a_r +\vec a_c 
\end{equation}

这就是加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。

当牵连运动为任意运动时，式 \ref{compoundmotion32}都是成立的，它是点的加速度合成定理的普遍形式。

根据矢量积运算规则，$\vec a_c$大小为

$ a_c=2\omega_ev_r\sin\theta$

其中$\theta$是$\vec \omega_e,\vec v_r$两个矢量之间的最小夹角。矢量$\vec a_c$垂直于$\vec \omega_e,\vec v_r$,指向按右手法则确定。当$\vec \omega_e,\vec v_r$平行时，$\vec a_c=0$。

\chapter{质点动力学 Particle Dynamics}
\section{牛顿运动定律 Newton's Laws of Motion}

牛顿运动定律包括牛顿第一运动定律、牛顿第二运动定律和牛顿第三运动定律，由艾萨克·牛顿在1687年发表于《自然哲学的数学原理》一书\cite{newton}\cite{wangkedi}。其中，第一定律说明了力的含义：力是改变物体运动状态的原因；第二定律指出了力的作用效果：力使物体获得加速度；第三定律揭示出力的本质：力是物体间的相互作用。

牛顿运动定律阐释了牛顿力学的完整体系，阐述了经典力学中基本的运动规律，广泛应用于各领域。

\subsection{牛顿运动定律 Newton's Laws of Motion}
\subsection{第一定律 First Law}

牛顿第一定律在《自然哲学的数学原理》中的原始表述是：任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。
用公式表达为：
\begin{equation}
\label{firstlaw}
\sum \vec F_i=m\frac{d\vec v}{dt}=0
\end{equation}

式中$\sum \vec F_i,\vec v,t$分别为合力，速度，时间。 

\subsection{动量 Momentum}
动量(Momentum)又称线性动量(Linear Momentum)。动量表示为物体的质量和速度的乘积，指的是运动物体的作用效果。动量的量纲为MLT⁻¹，在国际单位制中单位为kg·m/s。动量也是矢量，它的方向与速度的方向相同。

根据动量的定义，有
\begin{equation}
\label{Momentum}
\vec p=m\vec v
\end{equation}

式中$\vec p,m,\vec v$分别为动量、质量、速度。
\subsection{第二定律 Second Law}
牛顿第二运动定律表述为：
质点动量对时间的导数等于该质点所受的外力。用公式表达为：
\begin{equation}
\label{secondlaw}
\vec F=\frac{d\vec p}{dt}
\end{equation}

式中$\vec F,\vec p$分别为外力，动量。 

式\ref{Momentum}代入式\ref{secondlaw}，并求偏导数和结合式\ref{acceleration2}
\begin{equation}
\label{secondlaw2}
\vec F=\frac{d(m\vec v)}{dt}=\frac{\partial m}{\partial t}\vec v+m\frac{\partial \vec v}{\partial t}=\frac{\partial m}{\partial t}\vec v+m\vec a
\end{equation}

在上式中，若质点的质量不随时间变化，即
$\frac{\partial m}{\partial t}=0$

则

\begin{equation}
\label{secondlaw3}
\vec F=m\vec a
\end{equation}
或

\begin{equation}
\label{secondlaw40}
\vec F=m\frac{d\vec v}{dt}
\end{equation}

\begin{equation}
	\label{secondlaw4}
	\vec F=m\ddot{x}
\end{equation}

即：

质点运动的加速度的大小同作用在该质点受到的外力的大小成正比，加速度的方向和外力的方向相同。

\subsection{第三定律 Third Law}
牛顿第三运动定律表述为：

相互作用的两个质点之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上；
用公式表达为：
\begin{equation}
\label{thirdlaw}
\vec F_{12}=- \vec F_{21}
\end{equation}

式中,$\vec F_{12}$表示质点2受到的质点1的作用力，$ \vec F_{21}$表示质点1受到的质点2的反作用力。
\subsection{惯性 Inertia}
艾萨克·牛顿在其《自然哲学的数学原理》\cite{newton}里定义惯性为：

惯性，是物质固有的属性，是一种抵抗的现象，它存在于每一物体当中，大小与该物体相当，并尽量使其保持现有的状态，不论是静止状态，或是匀速直线运动状态。

更具体而言，牛顿第一定律表明，存在某些参考系，在其中，不受外力的物体都保持静止或匀速直线运动。也就是说，从某些参考系观察，假若施加于物体的合外力为零，则物体运动速度的大小与方向恒定。
\section{惯性参考系和非惯性参考系 Inertial and Non-Inertial Frames of Reference}
\subsection{惯性参考系 Inertial Frames of Reference}
牛顿把作匀速直线运动的参考系叫做惯性参考系。

惯性参考系是一种理想物理模型，就像质点是一种理想物理模型一样，是不可能存在的，但可以无限逼近。惯性参考系的运动加速度必须为0，而任何系统加速度都不可能为0，因为任何物体总是在绕某个中心在转动，只是转动的加速度可能很小。因此，判断一个特定参考系是不是惯性系，取决于能以多大的精确度去测出这个参考系的微小加速度效应。

在地面上的一般工程动力学中，由于地球的自转角速度较小，地面上一点的向心加逮度很小，可取与地球固连的坐标系作为惯性参考系。在一些必须把地球自转计算在内的问题中，例如研究陀螺仪表的漂移时，可采用地球中心坐标系作为近似的惯性参考系，其原点与地球中心重合，轴指向所认定的恒星。天文学中则采用黄道坐标系或银道坐标系作为惯性参考系。地球表面赤道上一点绕地心旋转的向心加速度为3.4$cm/s^2$，地球绕太阳公转的向心加速度为0.6$cm/s^2$，太阳绕银河系中心转动的向心加速度约为$3\cdot10^{-8}cm/s^2$。从以上数据可看出所选取的惯性参考系的近似程度。
\subsection{非惯性参考系 Non-Inertial Frames of Reference}
对惯性参考系作非匀速直线运动的参考系，叫做非惯性参考系，简称非惯性系。

可以证明，所有的参考系都是非惯性参考系。但是，当非惯性系的加速度与研究物体的加速度相比很小可以忽略不计时，可以把非惯性参考系当做惯性参考系。

\subsection{伽利略相对性原理 Galilean Principle of Relativity}
力学相对性原理(伽利略相对性原理)仅指经典力学定律在任何惯性参考系(惯性系)中数学形式不变，换言之，所有惯性系都是等价(平权)的。

伽利略用物理学原理为哥白尼地动学说进行辩解时，应用运动独立性原理通俗说明了石子从桅杆顶上掉落到桅杆脚下而不向船尾偏移的道理。进一步以作匀速直线运动的船舱中物体运动规律不变的著名论述，第一次提出惯性参考系(惯性系)的概念。这一原理被爱因斯坦称为伽利略相对性原理，是狭义相对性原理的先导。从伽利略变换可以导出力学相对性原理。

在一个惯性系的内部所作的任何经典力学实验，都不能确定这一惯性系本身是处于相对静止状态，还是匀速直线运动状态。换言之，经典力学定律在任何一个惯性系中数学形式不变。
\subsection{惯性力 Inertial Force}
惯性力的引入是为了弥补在非惯性参考系中物体的运动不满足牛顿运动定律而引入的假想力。

在相对于惯性系以加速度a运动的非惯性系中，牛顿定律不再适用。但在实际问题中，往往需要在非惯性系中观察和处理物体的运动。这时，我们要引入惯性力(inertial force)的概念，以便在形式上利用牛顿定律去分析问题。惯性力是在非惯性系中来自参考系本身的加速效应的力。惯性力的大小等于物体的质量m和非惯性系加速度a的乘积，但方向和a相反，如果用$F_{inertial}$表示惯性力，则
\begin{equation}
\label{inertialforce}
\vec F_{inertial}=-m\vec a
\end{equation}

在非惯性系中，如物体受的真实力为F，另外加上惯性力$F_{inertial}$，则物体对于此惯性系的加速度a'就可以在形式上与牛顿定律一样，如下求得
\begin{equation}
\label{inertialforce2}
\vec F+\vec F_{inertial}=m\vec a'
\end{equation}
\section{冲量和动量定理 Impulse and the Momentum Theorem}
\subsection{冲量}
一个随时间改变的力对一个物体的冲量(impulse)指这个力的作用对时间的积累效果，即力对时间的积分：
\begin{equation}
\label{impulse}
\vec I=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)dt
\end{equation}

其中I是冲量(有时也记作J)；F(t)是作用的力；dt是一段无限小的时间。

冲量的研究对象，在一般情况下是单个质点，有时也可以是多个质点组成的物体系。冲量及动量是矢量，在使用时要注意方向的改变，并按方向分别分析。

和动量是状态量不同，冲量是一个过程量。一个恒力的冲量指的是这个力与其作用时间的乘积。冲量表述了对质点作用一段时间的积累效应，是改变质点机械运动状态的原因。
\subsection{动量定理 Momentum Theorem}
在经典力学里，物体所受合外力的冲量等于它的动量的增量(即末动量减去初动量)，叫做动量定理(Momentum theorem)。用公式表示为
\begin{equation}
\label{Momentum_theorem}
\vec I=\vec p_2-\vec p_1
\end{equation}

或写成普遍形式
\begin{equation}
\label{Momentum_theorem2}
\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)dt=m\vec v_2-m\vec v_1
\end{equation}
\subsection{质点系 System of Particles}
质点系内各质点不仅可受到外界物体对质点系的作用力--外力的作用，而且还受到质点系内各质点之间的相互作用力--内力的作用。外力或内力的区分取决于选取的质点系。如以太阳系为质点系，则太阳和各行星之间的万有引力是内力，而太阳系内的行星和不属太阳系的天体之间的引力就是外力。对于由地球和月球组成的地－月系统来说，太阳对地球、月球的引力是外力，地球和月球之间的引力则是内力。受外力作用和在运动状态变化时都不变形的物体(连续质点系)称为刚体。刚体、弹性体、流体都可看作质点系。同样，是否是质点系也要考虑被描述物体所被研究的目的。

性质

质点系的总动量的改变与内力无关；
质点系的角动量的改变与内力无关；
质点系的机械能的改变与保守力无关。
\subsection{质心 Center of Mass}
质量中心简称质心(centre of mass)，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点，是质点系质量分布的平均位置。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。

设质点系由n个质点组成，它们的质量分别是$m_i,i=1,2,...,n$。若用$r_i,i=1,2,...,n$分别表示质点系中各质点$m_i$相对于某一固定点O的矢径，用$r_C$表示质心的矢径，则有

\begin{equation}
\label{centre_of_mass}
\vec r_C=\frac{\sum_{i=1}^{n}\vec r_im_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}
\end{equation}

若选择不同的坐标系，质心坐标的具体数值就会不同，但质心相对于质点系中各质点的相对位置与坐标系的选择无关。质点系的质心仅与各质点的质量大小和分布的相对位置有关。

当物体具有连续分布的质量时，质心C的矢径

\begin{equation}
\label{centre_of_mass2}
\vec r_C=\frac{\int\vec r\rho d\tau}{\int \rho d\tau}
\end{equation}

式中$\rho$为体(或面、线)密度；$\tau$为相当于$\rho$的体(或面、线)元；积分在具有分布密度$\rho$的整个物质体(或面、线)上进行。由牛顿运动定律或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理：质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。由这个定理可推知：

1.质点系的内力不能影响质心的运动。

2.若质点系所受外力的主矢始终为零，则其质心作匀速直线运动或保持静止状态。

3.若作用于质点系上外力的主矢在某一轴上的投影始终为零，则质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。

质点系的任何运动一般都可分解为质心的平动和相对于质心的运动。质点系相对某一静止坐标系的动能等于质心的动能和质点系相对随质心作平动的参考系运动的动能之和。质心位置在工程上有重要意义，例如要使起重机保持稳定，其质心位置应满足一定条件；飞机、轮船、车辆等的运动稳定性也与质心位置密切相关；此外，若高速转动飞轮的质心不在转动轴线上，则会引起剧烈振动而影响机器正常工作和寿命。

运动定律

质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式，可由质点系动量定理直接导出。
即将$P =Mv_c $代入质点系动量定理$dP /dt =\sum F_e $，得：

$Mdv_c /dt =\sum F_e $
或 
$Ma_c =\sum F_e $

称为质心运动定理。 

即：质点系的质量M与质心加速度$a_c$的乘积等于作用于质点系所有外力的矢量和(外力主矢量)。

可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。

2、质心运动守恒定律
(1)若$\sum F_e \equiv0$，则$a_c =0,v_c=$ 常矢量

即当外力系主矢量等于零时，质心的加速度等于零，质心保持静止或作匀速直
线运动。

(2)若$\sum F_{ex} \equiv0$，则$a_{cx} =0,v_{cx}=$ 常量

即当外力系在某轴上投影的代数和等于零时，质心的加速度在该轴上投影为零，
质心沿该轴方向保持静止或匀速运动。

这两种情况称为质心运动守恒。 质心运动定理经常用来求约束反力。
\subsection{动量守恒定律 Momentum conservation law}
动力学的普遍定理之一。其定义为：如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律(Momentum conservation law)。动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，它既适用于宏观物体，也适用于微观粒子；既适用于低速运动物体，也适用于高速运动物体。它是一个由实验观测总结的规律，也可用牛顿第二定律和运动学公式推导出来。用公式表示为
\begin{equation}
\label{Momentum_conservation}
\sum (m_i\vec v_i)=C
\end{equation}
\section{功、动能和动能定理 Work, Kinetic Energy and Kinetic Energy Theorem}
\subsection{功 Work}
功(work)，也叫机械功，是物理学中表示力对物体作用的空间的累积的物理量，功是标量，其大小等于力与其作用点位移的标积，国际单位制单位为焦耳。“功”一词最初是法国数学家贾斯帕·古斯塔夫·科里奥利创造的。
\begin{equation}
\label{work}
W_{AB}=\int_{A}^{B}\vec F(x)dx
\end{equation}

其中W 是功； F (x)是作用的力； dx是一段无限小的距离。 

\subsection{动能定理 Kinetic Energy Theorem}
所谓动能，是指物体因运动而具有的能量，数值上等于$\frac{1}{2}mv^2$。动能是能量的一种，它在国际单位制下单位是焦耳(J)，简称焦。需要注意的是，动能(以及和它相对应的各种功)，都是标量，即只有大小没有方向，求和时只计算其代数和。

动能定理(work-energy Principle)：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即末动能减初动能。用公式表示为

\begin{equation}
\label{workenergy_Principle}
\Delta W= E_{k2}- E_{k1}
\end{equation}

其中始末点的动能分别为

\begin{equation}
\label{workenergy_Principle2}
E_{k2}=\frac{1}{2}mv_2^2,
E_{k1}=\frac{1}{2}mv_1^2
\end{equation}
\section{势能和机械能守恒定律 Law of Conservation of Potential Energy and Mechanical Energy}
\subsection{保守力 Conservative Force}\label{conservativeforce}
在物理系统里，假若一个粒子，从始点移动到终点，由于受到作用力，且该作用力所做的功不因为路径的不同而改变，则称此力为保守力(Conservative Force)。假若一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。
\subsection{势能 Potential Energy}
势能(potential energy)是相互作用的物体间由于所在的位置不同而具有的能量。势能是储存于一个系统内的能量，也可以释放或者转化为其他形式的能量。势能是状态量，又称作位能。势能是相互作用的物体系统所共有的。

势能按作用性质的不同，势能分为重力势能、磁场势能、弹性势能、分子势能、电势能、引力势能等。力学中势能有引力势能(gravitational potential energy)和弹性势能(elastic potential energy)。

以重力势能为例，物体和地球间有万有引力，物体下落时，它们发生了相对运动，而且万有引力还对物体做了功，物体动能发生变化，那么这个动能从何而来呢，就是由它们之间的势能转化而来。在能量转化过程中，由于地球质量远远大于物体，地球几乎没有位移，所以我们平时一般都说某个物体的重力势能，其实重力势能是物体和地球所共有的。
\subsection{万有引力的功和引力势能 Work of Gravitational Force and Gravitational Potential Energy}
万有引力定律(law of universal gravitation)是描述物体间相互作用的一个定律，1687年为牛顿所发现。任何物体之间都有相互吸引力，这个力的大小与各个物体的质量成正比例，而与它们之间的距离的平方成反比。如果用m1、m2表示两个均匀球形物体的质量，r表示它们球心间的距离，则物体间相互吸引力为
\begin{equation}
\label{universal_gravitation}
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2 }
\end{equation}

其中，G为万有引力常数。

万有引力的功

设有一质量为m'的质点在O点固定不动。另一个质量为m的质点在m'的引力场中从A点经任意路径到达B点，$r_A,r_B$分别是A、B点到固定点O的距离，如图\ref{gravitywork} 所示。现在计算引力对质点m所做的功。
\begin{figure}
	\includegraphics[scale=0.6]{gravitywork}
	\caption{万有引力做功 \label{gravitywork}}
\end{figure}
因为引力F是变力，按照变力做功的计算方法，在路径中任意一点c附近取位移微元ds。在位移微元ds中，作用在m的引力大小为$F=Gm'm/r^2$，所以引力F在位移微元ds所做的功是

\begin{equation}
\label{gravitywork2}
dA=Fcos\alpha ds
\end{equation}
其中$\alpha$是引力f与微元ds之间的夹角，可以看出
$dr=cos(\pi-\alpha )ds$

其中$dr$是质点m沿着微元ds移动时距离r的增量，所以

\begin{equation}
\label{rs}
cos(\alpha )ds=-dr
\end{equation}

令
\begin{equation}
\label{m1m2}
m_1=m',m_2=m
\end{equation}

联立式 \ref{universal_gravitation}、式\ref{gravitywork2}、式 \ref{rs}、式 \ref{m1m2}，解得

\begin{equation}
\label{gravitywork3}
dA=-G \frac{m' m}{r^2 }dr
\end{equation}

对上式从点A到点B积分，得到引力对质点所做的总功

\begin{equation}
\label{gravityworksum}
A=\int A=\int_{r_A}^{r_B}(-G \frac{m' m}{r^2 }dr)
\end{equation}

即
\begin{equation}
\label{gravityworksum}
A=Gm' m (\frac{1}{r_B }-\frac{1}{r_A })
\end{equation}

由此可见，万有引力所做的功只与质点m所在的始末位置有关，而与经过的路径形状无关。质点由任意位置经任意闭合路径返回原来位置时，引力做功为0。这说明万有引力也是保守力。与之相应，可引入万有引力势能。设在上式中A、B点处引力势能分别为$E_{pA},E_{pB}$，则

\begin{equation}
\label{gravitational_potential_energy}
E_{pA}-E_{pB}=A=Gm' m (\frac{1}{r_B }-\frac{1}{r_A })
\end{equation}

即

\begin{equation}
\label{gravitational_potential_energy2}
E_{pA}=-Gm' m \frac{1}{r_A }+Gm' m \frac{1}{r_B}+E_{pB}
\end{equation}

一般，取m离m'无限远时的势能为0势能参考位置，也就是在上式中令
$r_B\to \infty,E_{p\infty}=0$

得到
\begin{equation}
\label{gravitational_potential_energy_general}
E_{pA}=-Gm' m \frac{1}{r_A }
\end{equation}

一个质量为m的物体在地球引力场中运动时，相应的重力势能也可以用式\ref{gravitational_potential_energy_general}表示。
令m'表示地球的质量$M_E,r_A=R$，R是地球半径，物体在地面的重力势能为
\begin{equation}
\label{earth_gravitational_pe}
E_{p,ground}=-GM_Em\frac{1}{R}
\end{equation}

物体在地面上空h高度处的重力势能为
\begin{equation}
\label{earth_gravitational_pe2}
E_{p,h}=-GM_Em\frac{1}{R+h}
\end{equation}

式\ref{earth_gravitational_pe2}减去式\ref{earth_gravitational_pe}，得到
\begin{equation}
\label{earth_gravitational_pe3}
E_{p,h}-E_{p,ground}=GM_Em\frac{h}{R(R+h)}
\end{equation}

当$h\ll R$，并且由于$g=\frac{GM_E}{R^2}$，上式可简化为
\begin{equation}
\label{earth_gravitational_pe4}
E_{p,h}-E_{p,ground}\approx mgh
\end{equation}

式\ref{earth_gravitational_pe4} 只近似适用于计算近地面物体的重力势能。式\ref{gravitational_potential_energy_general}是普遍适用的地球引力势能形式。
\subsection{弹性力的功和弹性势能 Work of Elastic Force and Elastic Potential Energy}
胡克定律由R.胡克于1678年提出，表述为，弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力F和弹簧的伸长量(或压缩量)x成正比。表达式为
\begin{equation}
\label{hooklaw}
F = -k\cdot x\\
\end{equation}
或
\begin{equation}
\label{hooklaw2}
\Delta F = -k\cdot \Delta x\\
\end{equation}

其中k是弹簧的劲度系数(也称为倔强系数或弹性系数)。在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量(弹性形变)，k的单位是牛/米。劲度系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时的弹力。
\begin{figure}
	\includegraphics[scale=0.6]{Elasticforcework}
	\caption{弹性力做功 \label{Elasticforcework}}
\end{figure}
满足胡克定律的弹性体是一个重要的物理理论模型，它是对现实世界中复杂的非线性本构关系的线性简化，而实践又证明了它在一定程度上是有效的。然而现实中也存在这大量不满足胡克定律的实例。胡克定律的重要意义不只在于它描述了弹性体形变与力的关系，更在于它开创了一种研究的重要方法：将现实世界中复杂的非线性现象作线性简化，这种方法的使用在自然科学中是屡见不鲜的。

$\frac{F_n}{S} =E\cdot(\frac{\delta l}{ l_0} )$

式中Fn表示内力，S是Fn 作用的面积，$l_0$是弹性体原长，$\delta l$是受力后的伸长量，比例系数E称为弹性模量，也称为杨氏模量，由于应变$\epsilon=\frac{\delta l}{ l_0}$为纯数，故弹性模量E和应力$\sigma =\frac{F_n}{S}$具有相同的单位，弹性模量是描写材料本身的物理量，由上式可知，应力大而应变小，则弹性模量较大；反之，弹性模量较小。弹性模量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力，对于一定的材料来说，拉伸和压缩的弹性模量不同，但二者相差不多，这时可认为两者相同。

胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内(见上图的材料应力应变曲线的比例极限范围内)，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力$\Sigma $与应变$\epsilon$成正比，即

$\sigma=E\cdot\epsilon$，

式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：

弹性力的功

设有一劲度系数为k的轻弹簧，放在水平光滑桌面，令它一端固定，另一端连结一物体，如图\ref{Elasticforcework}所示。O点为弹簧未伸长时物体的位置，称为平衡位置(equilibrium position)。设a、b点为弹簧伸长后物体的两个位置，$x_a,x_b$分别是a、b点到O点的距离，亦即弹簧的伸长量，物体从a点移动到b点，弹性力F对物体所做的功是

\begin{equation}
\label{elasticforceworksum}
A=\int A=\int_{r_a}^{r_b}Fdx=-\int_{r_a}^{r_b}kxdx
\end{equation}

即
\begin{equation}
\label{elasticforceworksum2}
A=\frac{1}{2}kx_a^2-\frac{1}{2}kx_b^2
\end{equation}

由此可见，弹性力所做的功只与物体所在的始末位置有关，而与经过的路径形状无关。物体由任意位置经任意伸长和压缩(在弹性范围内)返回原来位置时，弹性力做功为0。这说明弹性力也是保守力。与之相应，对于物体和弹簧这一系统来说，可定义弹性势能。设在上式中用符号A、B代替a、b，A、B点处弹性势能分别为$E_{pA},E_{pB}$，令

\begin{equation}
\label{elastic_potential_energy}
E_{p}=\frac{1}{2}kx^2
\end{equation}

则
\begin{equation}
\label{elastic_potential_energy2}
E_{pA}-E_{pB}=\frac{1}{2}kx_A^2-\frac{1}{2}kx_B^2
\end{equation}

可见

\begin{equation}
\label{elastic_potential_energy2}
A=-(E_{pA}-E_{pB})
\end{equation}

与万有引力做功完全相似。上式说明：弹性力所做的功等于弹性势能增量的负值。
\subsection{机械能守恒定律 Law of Conservation of Mechanical Energy}
机械能守恒定律(law of conservation of mechanical energy)是动力学中的基本定律，即任何物体系统如无外力做功，系统内又只有保守力\ref{conservativeforce}做功时，则系统的机械能(动能与势能之和)保持不变。外力做功为零，表明没有从外界输入机械功；只有保守力做功，即只有动能和势能的转化，而无机械能转化为其他能，符合这两条件的机械能守恒对一切惯性参考系都成立。这个定律的简化说法为：质点(或质点系)在势场中运动时，其动能和势能的和保持不变；或称物体在重力场中运动时动能和势能之和不变。这一说法隐含可以忽略不计产生势力场的物体(如地球)的动能的变化。这只能在一些特殊的惯性参考系如地球参考系中才成立。如图所示，若不考虑一切阻力与能量损失，滚摆只受重力作用，在此理想情况下，重力势能与动能相互转化，而机械能不变，滚摆将不断上下运动。用公式表示为
\begin{equation}
\label{mechanical_energy_conservation}
E_k+E_p=C
\end{equation}
\section{Law of Conservation of Energy}
能量守恒定律(energy conservation law)即热力学第一定律是指在一个封闭(孤立)系统的总能量保持不变。其中总能量一般说来已不再只是动能与势能之和，而是静止能量(固有能量)、动能、势能三者的总量。

能量守恒定律可以表述为：一个系统的总能量的改变只能等于传入或者传出该系统的能量的多少。总能量为系统的机械能、热能及除热能以外的任何内能形式的总和。

如果一个系统处于孤立环境，即不可能有能量或质量传入或传出系统。对于此情形，能量守恒定律表述为：
“孤立系统的总能量保持不变。”

能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到其它物体，而能量的总量保持不变。能量守恒定律是自然界普遍的基本定律之一。
\subsection{简史}
1644年笛卡尔(Rene Descartes，1596－1650)在他所著的《哲学原理》中讨论碰撞问题时引进了动量的概念，用以度量运动。

1687年牛顿(Isac Newton，1642－1727)在他的《自然哲学的数学原理》中把动量的改变来度量力。

莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646－1716)在1686年的一篇论文中抨击笛卡尔，主张用质量乘速度的平方来度量运动，莱布尼兹称之为活力。把牛顿由动量所度量的力也称为死力。

莱布尼兹的主张正好和1669年惠更斯关于碰撞问题研究的结论一致，该结论说“两个物体相互碰撞时，它们的质量与速度平方乘积之和在碰撞前后保持不变。”从莱布尼兹挑起争论起，形成了以笛卡尔和莱布尼兹两大派的论争。

这场论战延续了近半个世纪，许多学者都参加了论战，并且各有实验佐证。一直到1743年法国学者达朗贝尔(Jean le Rond d'Alembert，1717－1783)在他的《论动力学》中说：“对于量度一个力来说，用它给予一个受它作用而通过一定距离的物体的活力，或者用它给予受它作用一定时间的物体的动量同样都是合理的。”在这里，达朗贝尔揭示了活力是按作用距离力的量度，而动量是按作用时间力的量度。这场争论终于尘埃落定了。活力才作为一个正式的力学名词为力学家们普遍接受。活力虽然为力学家接受了，但是它与力的关系并没有弄清楚。

1807年英国学者托马斯·杨(Thomas Young，1773，5，10－1829，5，10)引进了能量的概念。

1831年法国学者科里奥利(Gustave Gaspard Coriolis，1792－1843)引进了力做功的概念，并且在活力前加了1/2系数称为动能，通过积分给出了功与动能的联系，即$F=\frac{1}{2}mv^2$这个式子表示力做功转化为物体的动能。

也就是说自然界的机械能是守恒的。

英国学者开尔文采用了杨所提出的能量的概念，采用“势能”代替“弹力”，以“动能”代替“活力”，使在力学中延续了近200年的概念上含混不清的情况得到改变。

1848年开尔文勋爵(威廉·汤姆森)在其论文《关于一种绝对温标》(On an Absolute Thermometric Scale)中写道，需要一种以“绝对的冷”(绝对零度)作为零点的温标，使用摄氏度作为其单位增量。汤姆森用当时的空气温度计测算出绝对零度等于−273 °C。这种绝对温标现在称为开尔文热力学温标。

\subsection{保守力 Conservative Force}\label{conservativeforce}

\section{碰撞 collision}
碰撞(collision)是两个作相对运动的物体，接触并迅速改变其运动状态的现象。可以是宏观物体的碰撞，如打夯、锻压、击球等，也可以是微观粒子如原子、原子核和亚原子粒子间的碰撞。

经典力学中通常研究两个球的正碰，也称为对心碰撞，即其相对速度正好在球心的连线上。设两个球的质量分别为$m_1,m_2$，碰撞前速度分别为$\vec v_{10},\vec v_{20}$，碰撞后速度分别为$\vec v_1,\vec v_2$。应用动量守恒定律得

\begin{equation}
\label{collision}
m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}=m_1\vec v_1+m_2\vec v_2
\end{equation}

具体计算时，要把上式改写成标量式

\begin{equation}
\label{collision1}
m_1 v_{10}+m_2 v_{20}=m_1 v_1+m_2 v_2
\end{equation}

由于碰撞过程十分短暂，碰撞物体间的冲力远比周围物体给它们的力为大，后者的作用可以忽略，这两物体组成的系统可视为孤立系统。
动量和能量守恒，但机械能不一定守恒。如果两球的弹性都很好，碰撞时因变形而储存的势能，在分离时能完全转换为动能，机械能没有损失，称完全弹性碰撞，钢球的碰撞接近这种情况。如果是塑性球间的碰撞，其形变完全不能恢复，碰撞后两球同速运动，很大部分的机械能通过内摩擦转化为内能，称完全非弹性碰撞，如泥球或蜡球的碰撞，冲击摆也属于这一类。介于两者之间的即两球分离时只部分地恢复原状的，称非完全弹性碰撞，机械能的损失介于上述两类碰撞之间。微观粒子间的碰撞，如只有动能的交换，而无粒子的种类、数目或内部运动状态的改变者，称弹性碰撞或弹性散射；如不仅交换动能，还有粒子能态的跃迁或粒子的产生和湮没，则称非弹性碰撞或非弹性散射。在粒子物理学中可借此获得有关粒子间相互作用的信息，是颇为重要的研究课题。

碰撞过程时间极短，所以内力总是大于外力，动量必守恒。

(1)碰撞一般分为压缩阶段和恢复阶段两个过程。

(2)碰撞可以分为以下几类：完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞和非完全弹性碰撞。

碰撞中的能量转化

在压缩阶段中物体的动能转化为其他形式的能量，而在恢复阶段中其他形式的能量转化为动能。

在完全弹性碰撞中，碰撞前后总动能不变。

牛顿总结实验结果提出碰撞定律：碰撞后两个球的分离速度$v_2-v_1$与碰撞前两个球的接近速度$v_{10}-v_{20}$成正比，比值由两个球的质料决定，即
\begin{equation}
\label{collision2}
e=\frac{v_2-v_1}{v_{10}-v_{20}}
\end{equation}

通常称e为恢复系数(在斜碰的情况下，式中的分离速度和接近速度都是指沿碰撞接触处法线方向的相对速度)。由上式可见，如果e=0,则$v_2=v_1$，代入\ref{collision1} 得
\begin{equation}
\label{collision3}
v_1=v_2=\frac{m_1 v_{10}+m_2 v_{20}}{m_1+m_2}
\end{equation}

这就是完全非弹性碰撞的情况。如果e=1，则分离速度等于接近速度，可以证明，这时两个球碰撞前后的总动能不变，这就是完全弹性碰撞的情况。对于一般的碰撞，0<e<1，可以用实验方法测定e。

联立式\ref{collision1} 和式\ref{collision2}，解得
\begin{equation}
\label{collision4}
v_1=v_{10}-\frac{(1+e)m_2(v_{10}-v_{20})}{m_1+m_2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{collision5}
v_2=v_{20}+\frac{(1+e)m_1(v_{10}-v_{20})}{m_1+m_2}
\end{equation}

利用式\ref{collision4} 和式\ref{collision5}，解得非弹性碰撞中损失的机械能

\begin{equation}
\label{collision6}
\Delta E=\frac{1}{2}(1-e^2)\frac{m_1m_2(v_{10}-v_{20})^2}{m_1+m_2}
\end{equation}

由式\ref{collision6} 可知，如果e=1，则$\Delta E=0$，此时无机械能损失，亦即弹性碰撞。
\section{角动量和角动量守恒定律 Angular Momentum and Law of Conservation of Angular Momentum}\label{ConservationAngularMomentum}
\subsection{角动量 Angular Momentum}
角动量(angular momentum)\footnote{\label{angularMomentum}角动量L的严格定义为：$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$，其中$\mathbf{r}$为位置矢量，$\mathbf{p}$为动量矢量。} (参见第\pageref{angularMomentum}页脚注\ref{angularMomentum})在物理学中被定义为物体到原点的位移(矢径)和其动量的叉积：

\begin{equation}
\label{angular_momentum}
\vec L=\vec r \times \vec p=\vec r \times (m\vec v)
\end{equation}

其中，r表示以质点到旋转中心(轴心)的距离(可以认为|r|为半径的大小)，方向由原点指向物体位置的矢量(即矢径)，L表示角动量，v表示线速度，p表示动量，I表示转动惯量，w表示角速度(矢量)。角动量是矢量，且是轴矢量。其量纲为$L^2MT^{-1}$，SI单位制中单位为$kg\cdot m^2/s$。

角动量的方向：角动量是两个矢量的叉乘，在右手坐标系里遵循右手螺旋法则，即右手四指指向矢径的方向，转过一个小于180度的平面角后四指指向动量的方向，则大拇指所指的方向为角动量的方向。
\subsection{力矩 moment of force}
力矩 (moment of force) 在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。力矩的单位是牛顿.米。力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。转动力矩又称为转矩或扭矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力 ，而扭转则涉及到力矩。力矩等于径向矢量与作用力的叉积。

\begin{equation}
\label{moment_of_force}
\vec M=\vec r \times \vec F
\end{equation}

其中r是从转动轴到着力点的距离矢量, F是矢量力；力矩也是矢量。
\subsection{角动量定理 theory of angular momentum}
角动量定理(theory of angular momentum)又称动量矩定理。 表述角动量与力矩之间关系的定理。

对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的导数，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。对于质点系，由于其内各质点间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零。利用内力的这一特性，即可导出质点系的角动量定理：质点系对任一固定点O的角动量对时间的导数等于作用于该质点系的诸外力对O点的力矩的矢量和。

即 ，式中ri、mi和vi分别为质点系中第m个质点关于O点的矢径、质量和速度矢量。这一定理中的 O点必须固定。在一般情况下，对于动点，这个定理不成立；但质点系的质心例外,关于质心的角动量定理为：质点系对于质心C的角动量为，它对时间的导数等于作用在质点系的外力系对质心C的主矩M,即式中ri为质点系中第i个质点对质心的矢径。

\begin{equation}
\label{angular_momentum_theorem}
\vec M=\frac{d\vec L}{dt}
\end{equation}

证明:

对牛顿第二定律式 \ref{secondlaw4}  ,两边同时叉乘$\vec r$，得:

\begin{equation}
\label{moment_of_force3}
\vec r\times \vec F=\vec r\times m\frac{d\vec v}{dt}=m\vec r\times \frac{d\vec v}{dt}
\end{equation}

我们知道乘积求导有这样的一个关系:
$(ab)' = a'b + ab',\frac{d(ab)}{dt}=\frac{da}{dt}b+a\frac{db}{dt}$

把这个关系代入式 \ref{moment_of_force3}，得到
\begin{equation}
\label{moment_of_force4}
\vec r\times \vec F=\vec r\times m\frac{d\vec v}{dt}=m\frac{d(\vec r\times \vec v)}{dt}-m\vec v\times\frac{d\vec r}{dt}
\end{equation}

因为$\vec v=\frac{d\vec r}{dt}$ ,所以上式最后一项是$m\vec v \times \frac{d\vec r}{dt} = m\vec v \times\vec v=0$。

这样我们就得到了关系式

\begin{equation}
\label{moment_of_force5}
\vec r\times \vec F=m\frac{d(\vec r\times \vec v)}{dt}=\frac{d(\vec r\times m\vec v)}{dt}=\frac{d\vec L}{dt}
\end{equation}

式 \ref{moment_of_force} 代入上式，得到角动量定理 \ref{angular_momentum_theorem} 。

\subsection{角动量守恒定律 law of conservation of angular momentum}
角动量守恒定律(law of conservation of angular momentum) 是物理学的普遍定律之一。反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。

角动量守恒定律表述为：如果合外力矩为零(即M外=0),则L=常矢量。用公式表示为
\begin{equation}
\label{angular_momentum_conservation}
\sum (\vec r_i \times m_i\vec v_i)=C
\end{equation}

这就是说,如果对一固定点O,质点或质点系所受的合外力矩为零,则此质点或质点系的角动量矢量保持不变。这一结论叫做角动量守恒定律。